第六章 控制测量

控制测量的目的：在整个测区范围内用比较精密的仪器和严密的方法测定少量大致均匀分布的点位准确位置。其中测量点平面坐标(x,y)称为平面控制测量，测量高程H称为高差控制测量。

一、平面控制测量

1.1 基础概念

控制网是指由控制点组成的网。
1.三角网：观测三角形内角以及基线构成的控制点连续三角形控制网
2.导线/导线网：测定相邻控制点间边长，由此连成折线并测定相邻折线之前水平角以计算控制点坐标的控制网
3.基线：控制网中带有已知长度信息的边
4.边角网：同时观测三角形内角及全部或若干边长的控制网
5.控制网加密：平面控制网从整体到局部分等级进行布设称为控制网加密。
7.

1.2 技术指标

1.2.1 城市GNSS平面网主要技术指标

等级	平均边长	a	b	最弱边中误差
二等	略..
三等
四等
一级
二级				..

基线向量弦长中误差：σ=\sqrt{a^2+(bd)^2}

1.2.2 城市电磁波测距导线网的主要技术指标

1.2.3 图根电磁波测距导线主要技术指标

1.2.4 城市水准测量主要技术指标

1.3 平面控制网定位与定向

1.3.1 基本概念

1.方位角：正北子午线为起始方向顺时针旋转到指定方向的水平角度称为方位角（A），范围0~360°
2.坐标方位角：平面直角坐标系中以X轴方向作为起始方向顺时针旋转到指定方向的角度称为坐标方位角，范围0~360°，由于平面控制测量中计算涉及的都是坐标方位角，故在一般在此场景下简称为方位角。
3.子午线收敛角：任意两点间对应的都不平行子午线方向之间的夹角。

1.3.2 平面直角坐标与极坐标关系

已知有两点坐标A(x1,y1)、B(x2,y2)，则有坐标增量\Delta{x_{12}},\Delta{y_{12}}、两点距离D与坐标方向角α的关系为：
D_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \tag{6.1}
\begin{cases}
\Delta{x_{12}}=x_2-x_1=D_{12}_cosα_{12}\
\Delta{y_{12}}=y_2-y_1=D_{12}_sinα_{12}
\end{cases} \tag{6.2}
据（6.2）式可进行变换，进行不同已知参数下的其他未知量的计算。
方位角有：
α_{12} = arctan\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=arctan\frac{\Delta{y_{12}}}{\Delta{x_{12}}} \tag{6.3}
α_{21} = arctan\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=arctan\frac{-\Delta{y_{12}}}{-\Delta{x_{12}}} \tag{6.4}
正反坐标方位角之间的关系为
α_{21} = α_{12} \pm 180° \tag{6.5}

1.3.3 坐标正算

平面上点位置描述由极坐标转为直角坐标的过程称为坐标正算，即按照两点间的坐标方位角α和两点距离D计算坐标增量，如式(6.2)。

1.3.4 坐标反算

由直角坐标转为极坐标的过程称为坐标反算，即按照两点间的坐标增量\Delta{x_{12}},\Delta{y_{12}}计算坐标方位角α和两点距离D的过程，如式(6.1)、(6.3)、(6.4)。

计算方位角时arctan计算器只能计算得到象限角，需要转为正确的坐标方位角。

二、高程控制测量

1.采用水准测量建立高程控制网，布设原则：从高级到低级，从整体到局部。
2.分级：国家水准网分一、二、三、四等，前两为精密水准测量；
城市水准测量分二、三、四等分。

三、GNSS测量

3.1 点位测定基本原理

\quad同时观测4颗及以上卫星测定地面点到卫星的空间距离D，再结合观测的卫星坐标根据空间距离交会原理求得地面站点的空间位置。
\quad为了消除或减弱卫星钟差、多径等误差对观测精度的影响，通常对两点（如A、B）进行同步观测获得差分观测值，从而得到此两点之间较精确的GNSS基线向量(三维坐标差)：
\begin{cases}
\Delta{x}=x_B-x_A\
\Delta{y}=y_B-y_A\
\Delta{z}=z_B-z_A
\tag{6.6}
\end{cases}
分类如下：

表1 定位分类

3.2 空间距离的测定方法

3.2.1 伪距测量

通过测定某颗卫星发射的GNSS测距码信号到达接收机天线的传播时间和电磁波再大气中的传播速度求解卫星至接收机天线的距离。
由于存在卫星钟差、接收机钟差、大气传播延迟误差等误差影响，求得的距离非测站到卫星的真值，通常将此距离称为伪距。
优点：对定位条件要求低，数据处理简单，容易实现实时定位；
缺点：时间不易测准，观测值精度低。

3.2.2 载波相位测量

测定卫星的GNSS载波信号在传播路径上的相位变化从而解得卫星至接收机天线的距离。
电磁波相位法测距通常只能测定不足一整周的相位差\Delta{\phi}，无法确定整周数N_0;

3.2 单点定位

用一台GNSS接收机进行定位的模式，用伪距或载波相位测量的方法确定接收机天线的绝对坐标，精度一般为米级。

3.3 相对定位（差分定位）

3.3.1 基本原理

不同测站采用采用多台GNSS接收机同步跟踪相同的卫星信号，以载波相位测量方法确定多台接收机（测站）天线间的相对位置的测量模式，相对位置也即基线向量或坐标差，此观测方式也称为同步观测，精度毫米级。

3.3.2 观测法

载波相位观测值线性组合方式有卫星间求差（单差法）、测站间求差（双差法）等。

单差法：两测站同步观测一颗卫星，得到两观测的一次相位差\Delta{\phi}=\phi_2-\phi_1,相位差消除了卫星钟差的影响。当两测站相近时大气延迟基本一致，作差后基本消除大气延迟。

双差法：两测站同步观测一组卫星（S_1...S_i），分别得到对相同一个卫星的一次相位差，随后再求接收机与下一卫星的二次差，结果称为站星间双差观测值。双差法即有单差法的消除误差项，还能消除两接收机间的相对钟差改正数，故GNSS相对定位都采用双差法进行基线向量解算¹。

3.3.3 CORS

连续运行基准站，简称CORS。基准站是一个固定的测站，全天候进行连续不断的卫星观测，同时发射观测成果信号，为其他测量用接收机提供服务的基准站。多个CORS组成CORS系统。

3.4 静态定位

静态定位是GNSS定位中测站接收机天线位置相对固定，用多台接收机在不同测站进行相对定位的同步观测。
观测的结果是非实时的，需要进行内业处理以获得较高的测量精度，一般用于控制测量。

3.5 实时动态定位

原理：将测站分为基准站（坐标已知测站）和流动站（待定点测站），所有测站对所有可观测卫星进行连续观测，流动站根据基准站的已知三维坐标求出观测值的改正数，同通过无线电台发送给流动观测站；流动站根据接受到的GNSS卫星信号以及基准站发出的校正值进行差分计算得到实时的流动站三维坐标。

3.5.1 CORS模式

基准站为CORS

3.5.2 RTK模式

基准站为一个固定站上的接收机和无线电发射装置。RTK又称载波相位差分技术，是实时处理两个测量站载波相位观测量的差分方法，将基准站采集的载波相位发给用户接收机进行求差计算坐标。

四、导线测量与计算（重点）

4.1 导线网布设

1.支导线：图根导线一般规定支导线的点数不超过3个；
2.闭合导线
3.附和导线：可分双定向附和导线（前后两已知方位角）、单定向附和导线（一已知方位角）和无定向附和导线（无已知方位角）。

4.2 导线测量外业流程

1.踏勘选点与建立标志；
2.导线边长测量；
3.导线转折角测量
转折角是指在导向点上由相邻两导线边构成的水平角。在导线行方向左侧的水平角称为左角，在右侧的称为右角。

4.3 导线测量内业计算（重点）

计算主要目的：计算导线点的坐标。
导线计算的主要内容：为方位角推算、坐标正反算和闭合差的调整。
导线基本计算流程即：

4.3.1 支导线计算

按已知点坐标反算已知边方位角，按已知方位角和导线转折角推算各导线边长的方位角，按各导线边方位角和边长计算坐标增量，从而计算导线点坐标。
1.方位角计算（坐标正算）
2.导线边方位角计算
导线边方位角计算的一般方式如下：
\begin{cases}
α_{next}=α_{pre}-β_右+180°\
α_{next}=α_{pre}+β_左-180°
\tag{6.7}
\end{cases}

口诀如下：左转折角加右转折角减，简称“左加右减”。求得的方位角需要在0 ~ 360°范围内，如果超出需要进行归算到0~360°。对于180°的加减问题，可视为对上一已知方位角的反方位角计算，确保在0 ~ 360°范围内定义加减即可。

算例：假定已知方位角$α{AB}，下一段转折角为右角β$，则由正反方位角差180°的关系可推算下一段方位角为：
α_{BC}=α_{A}-β\pm180°

4.3.2 闭合导线计算

相比支导线，有多余观测量，故还行观测值与推算值的闭合差计算与分配。
1.角度闭合差

计算为$f_β=\sum{β测}-\sum{β{理论}}$，分配原则为反闭合差符号，平均分配;

2.方位角推算

从起始已知方位角计算得到的末尾方位角与其已知方位角进行检核；

3.坐标增量计算和增量闭合差分配调整
理论上坐标增量闭合后应该等于0，总闭合差为f=\sqrt{f_x^2+f_y^2}。坐标与导线长度相关，故采用导线全长相对闭合差（简称导线相对闭合差）T来衡量其测量精度：
T=\frac{f}{\sum{D}} \tag{6.8}
D为每一测段的长度，T越小，导线测量精度愈高。当闭合差在限差范围内时，改正的原则为反闭合差符号，按边长与总长的比例分配，即x、y两方向坐标的改正为：
\begin{cases}
\sigma_{\Delta{x_i}} = -\frac{f_x}{\sum{D}}_D_i\
\
\sigma_{\Delta{y_i}} = -\frac{f_y}{\sum{D}}_D_i
\end{cases}
故坐标闭合差按照导线长度进行分配。
4.坐标推算，推算后末尾已知点后，对比坐标是否相等作为校核。

4.3.3 附和导线计算

（1）双定向附和导线
（2）单定向附和导线
（3）无定向附和导线

五、交会定点计算

小区域个别控制点加密除了使用导线测量，还可通过以下方式进行加密计算。此方式也称为自由设站法。

5.1 前方（测角）交会

从已知点A、B分别观测待定点P水平角α、β，从而计算P点坐标的过程称为前方交会，也称测角交会。

5.1.1 计算流程

1.坐标反算公式计算已知点的坐标方位角、距离；

2.按照三角正弦计算A、B已知点到待定点P的边长以及对应的坐标方位角；

3.根据已知点到待定点的坐标方位角与边长，按坐标正算公式分别从A、B点计算坐标增量，将两组计算结果是否相等作为检核；

5.1.2 直接解算

以上流程也可合为一个正切公式直接获得结果：
\begin{cases}
x_P=\frac{x_Atanα+x_Btanβ+(y_B-y_A)tanαtanβ}{tanα+tanβ}\
\
y_P=\frac{y_Atanα+y_Btanβ+(x_B-x_A)tanαtanβ}{tanα+tanβ}
\tag{6.9}
\end{cases}

5.2 距离（测边）交会

从待定点P向两个已知点A、B测量边长AP(b)、BP(a)，已知边AB的边长为c，以计算P点坐标的过程称为距离交会，又称测边交会。

5.2.1 计算流程

1.根据三角形的余弦定理，计算出三角形的内角\angle{BAP}=α、\angle{ABP}=β：
\begin{cases}
α=\arccos{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}
\
\
β=\arccos{\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}
\tag{6.10}
\end{cases}

2.根据前方交会流程继续计算最终得到P点坐标；

5.2.2 直接解算公式

由平面坐标系坐标变换公式，在AB方向作局部坐标系Y'轴，X'轴垂直AB， 得到待定点P的计算公式为：

\begin{cases}
x_P=x_A+x'_P*cos(a_{AB})+y'_P*sina_{AB}
\
\
y_P=y_A+x'_P*e*sin(a_{AB})-y'_P*cosa_{AB}
\tag{6.11}
\end{cases}
其中a_{AB}为AB方位角，x'_P、y'_P为P点在局部坐标系中的坐标，其值为：
\begin{cases}
x'_P=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}
\
\
y'_P=\sqrt{b^2-{x'_P}^2}
\tag{6.12}
\end{cases}

求得坐标后计算边长与已知边长a、b作检核。

5.3 边角交会

从待定点P向两个已知点A、B测量边长AP(b)、BP(a)，并观测水平角\angle{APB}=\gamma以计算P点坐标的过程，称为边角后方交会，简称边角交会。

计算公式为：
1.由计算水平角\angle{BAP}=α、\angle{ABP}=β如式（6.10）；
2.由此计算出\gamma'=180°-α-β；从而得到角度闭合差f=\gamma'-\gamma；
3.如果闭合差在限差内，则对计算的角度α、β为：
\begin{cases}
α_改=α-\frac{1}{3}f
\
\
β_改=β-\frac{1}{3}f
\tag{6.13}
\end{cases}

4.按照改正后的角度按前方交会原理计算P点坐标。

5.4 后方交会

从某一待定点P向三个已知点A、B、C观测方向角R_A、R_B、R_C以计算P点坐标的过程，称为方向后方交会，简称后方交会。

当A、B、C、P在处于四点共圆位置时，不能使用后方交会方法计算P点坐标，此圆称为后方交会的危险圆。

后方交会公式较多，此处介绍适用于程序计算的重心公式：
1.在待定点P构成的三个水平角\angle{CPB}=α、\angle{APC}=β、\angle{BPA}=\gamma：\begin{cases}
α=R_C-R_B
\
β=R_A-R_C
\
\gamma=R_B-R_A
\tag{6.14}
\end{cases}2.由此得到待定点坐标值为其余点加权平均值，即：\begin{cases}
x_P=\frac{P_Ax_A+P_Bx_B+P_Cx_C}{P_A+P_B+P_C}
\
\
y_P=\frac{P_Ay_A+P_By_B+P_Cy_C}{P_A+P_B+P_C}
\tag{6.15}
\end{cases}其中权为\begin{cases}
P_A=\frac{tanαtanA}{tanα-tanA}\
\
P_B=\frac{tanβtanA}{tanβ-tanA}\
\
P_C=\frac{tan\gamma*tanA}{tan\gamma-tanA}
\tag{6.16}
\end{cases}$$

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1. 《测量学》同济大学出版社 程孝军、鲍峰、顾孝烈； ↩︎